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2021 資訊之芽入芽考 E. 大整數

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題目連結：Sprout Online Judge No. 840

題目敘述

你有一個大整數 \(012345678910111213141516171819202122…\)

也就是說，這個大整數是把所有非負整數依序串在一起。

現在，給你 \(n\)、\(k\)，請你輸出，在這個大整數中，由左至右第 \(n\) 次出現數字 \(k\)，是出現在第幾個位置？

位置從 1 開始算，並保證 \(k\) 是介於 \(0\) 到 \(9\) 之間的整數。

注意到，因為這個大整數太特別了，你定義這個大整數的第一位是 \(0\) 。

\(n \le 10^{12}, 0 \le k \le 9\)

想法

數字這麼大，一定是二分搜尋，找出最後一個含有數字 \(k\) 小於 \(n\) 的數字，而求出在 \(num\) 之前有多少數字 \(k\) 的方法如下。

若 \(k = 0\)，則要分開討論。

  1. \(k=0\)
    我們逐位討論，每一次將數字分為 \(cur, high, low\)，分別是現在這一位數，在他左邊的數，以及在他右邊的數。
    以 \(1034\) 為例：
    第一次進入迴圈時 \(high=103, cur=4, low=0, base=1\)。 因為 \(cur \ne 0\)，因此會有 \(10,20,30…1030\)，共 \(103\) 個 \(0\)。
    第二次進入迴圈時 \(high=10, cur=3, low=4, base=10\)。 同樣因 \(cur \ne 0\)，因此會有 \(100,101,102…300…1000\)，共 \(100\) 個 \(0\)。
    第三次進入迴圈時 \(high=1, cur=0, low=34, base=100\)。 這次 \(cur = 0\)，因此 \(1000,1001,1002…1034\)，共 \(35\) 個 \(0\)。
    最後不要忘記還有 \(0\) 本身也是一個。

  2. \( k> 0\)
    同樣逐位討論，每一次將數字分為 \(cur, high, low\)，分別是現在這一位數，在他左邊的數，以及在他右邊的數。
    以 \(1034, k=2\) 為例：
    第一次進入迴圈時 \(high=103, cur=4, low=0, base=1\)。 因為 \(cur > k\)，因此會有 \(2,12,22,32…1032\)，共 \(104\) 個 \(2\)。
    第二次進入迴圈時 \(high=10, cur=3, low=4, base=10\)。 同樣因 \(cur > k\)，因此會有 \(20,21,22,23…320…1020\)，共 \(110\) 個 \(2\)。
    第三次進入迴圈時 \(high=1, cur=0, low=34, base=100\)。 這次 \(cur < k\)，因此 \(200,201,202…299\)，共 \(100\) 個 \(2\)。

※上面的說明，也有 HackMD 版，有興趣的伙伴，可以點按連結：求 \(0 \sim n\) 當中有幾個數字 \(k(0 \le k \le 9)\) - HackMD(↗)。

實作

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;

// just for 0
ll countDigit(ll n){
    if(n<1) return 1;
    ll high=n,tp=0,cur=0,low=0,base=1,ret=0;
    while(high>0){
        high=n/(10*base);
        tp=n%(10*base);
        cur=tp/base;
        low=tp%base;
        if(cur==0){
            ret+=(high-1)*base+low+1;
        }else{
            ret+=high*base;
        }
        base*=10;
    }
    return ret+1;
}

// only for 1~9
ll countDigit(ll n,ll k){
    if(k==0) return countDigit(n);
    ll high=n,tp=0,cur=0,low=0,base=1,ret=0;
    while(high>0){
        high=n/(10*base);
        tp=n%(10*base);
        cur=tp/base;
        low=tp%base;
        if(cur==k){
            ret+=high*base+low+1;
        }else if(cur<k){
            ret+=high*base;
        }else{
            ret+=(high+1)*base;
        }
        base*=10;
    }
    return ret;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);

    ll n,k;
    cin>>n>>k;

    ll l=0,r=1000000000000000000;
    while(r-l>1){
        ll mid=l+r>>1;
        if(countDigit(mid,k)>=n){
            r=mid;
        }else{
            l=mid;
        }
    }

    ll ans=countDigit(l);
    for(int i=1;i<=9;++i){
        ans+=countDigit(l,i);
    }

    ll ctd=countDigit(l,k);
    l++;
    vector<int> ns;
    while(l>0){
        ns.emplace_back(l%10);
        l/=10;
    }
    reverse(ns.begin(),ns.end());

//  search the nth k
    for(int i=0;i<ns.size();++i){
        if(ctd==n) break;
        if(ns[i]==k) ctd++;
        ans++;
    }

    cout<<ans<<"\n";
}